Линейные операторы

Пусть $V$ и $W$ - векторные пространства над одним и тем же полем $F$. Отображение $\mathcal{A}: V \to W$ называется **линейным оператором** если: $$\forall{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in V, t \in F}~~ \begin{cases} \mathcal{A}(\mathbf{x}_{1} + \mathbf{x}_{2}) = \mathcal{A}(\mathbf{x}_{1}) + \mathcal{A}(\mathbf{x}_{2}) \\ \mathcal{A}(t \mathbf{x}_{1}) = t\mathcal{A}(\mathbf{x}_{1}) \end{cases}$$ Множество всех линейных операторов из $V$ в $W$ обозначается $\mathrm{Hom}(V, W)$

Пусть $V, W$ - векторные пространства над $F$, а $\mathcal{A}: V \to W$ - линейный оператор. Тогда: 1. $\mathcal{A}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$ 2. $\mathcal{A}(\lambda_{1} \mathbf{v}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{v}_{2} + \dots + \lambda_{m} \mathbf{v}_{m}) = \lambda_{1}\mathcal{A}(\mathbf{v}_{1}) + \lambda_{2}\mathcal{A}(\mathbf{v}_{2}) + \dots + \lambda_{m}\mathcal{A}(\mathbf{v}_{m})$

**Свойство 1.** $$\mathcal{A}(\mathbf{0}) = \mathcal{A}(0 \cdot \mathbf{0}) = 0 \cdot \mathcal{A}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$$ **Свойство 2.** По индукции. $~~~\square$

Пусть $V, W$ - векторные пространства над $F$, причём $\mathrm{dim}~V = n > 0$. Пусть $P = \{\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \dots, \mathbf{p}_{n}\}$ - базис $V$, а $\mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{n}$ - произвольные вектора из $W$. Тогда существует единственный линейный оператор $\mathcal{A}: V \to W$ такой, что: $$\mathcal{A}(\mathbf{p}_{i}) = \mathbf{w}_{i} ~~~\forall{i = \overline{1, n}}$$

Пусть $\mathbf{x} \in V, (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ - координаты $\mathbf{x}$ в базисе $P$. Существование. Определим оператор $\mathcal{A}$ правилом: $$\mathcal{A}(\mathbf{x}) := x_{1} \mathbf{w}_{1} + x_{2} \mathbf{w}_{2} + \dots + x_{n} \mathbf{w}_{n}$$ В силу единственности координат вектора в базисе это определение корректно (т.е. образ $\mathbf{x}$ под действием $\mathcal{A}$ определён однозначно). Из свойств координат суммы векторов и произведения на скаляр вытекает, что $\mathcal{A}$ линеен. Осталось заметить, что для всякого $i = \overline{1, n}$ вектор $\mathbf{p}_{i}$ имеет в базисе $P$ координаты $(0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)$, где $1$ стоит на $i$-м месте, и потому $\mathcal{A}(\mathbf{p}_{i}) = \mathbf{w}_{i}$ Единственность. Пусть $\mathcal{B}: V \to W$ - линейный оператор удовлетворяющий формулировке теоремы. В силу свойств линейного оператора имеем: $$\begin{align} \mathcal{B}(\mathbf{x}) &= \mathcal{B}(x_{1} \mathbf{p}_{1} + x_{2} \mathbf{p}_{2} + \dots + x_{n} \mathbf{p}_{n}) = x_{1}\mathcal{B}(\mathbf{p}_{1}) + x_{2}\mathcal{B}(\mathbf{p}_{2}) + \dots + x_{n}\mathcal{B}(\mathbf{p}_{n}) = \\ &= x_{1} \mathbf{w}_{1} + x_{2} \mathbf{w}_{2} + \dots + x_{n} \mathbf{w}_{n} = \mathcal{A}(\mathbf{x}) \end{align}$$ Следовательно, $\mathcal{B} = \mathcal{A}$ $~~~\square$

Пусть $V, W$ - векторные пространства над $F$, $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ - линейные операторы $V \to W$, $t \in F$. **Суммой** операторов $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ называется оператор $\mathcal{A} + \mathcal{B}: V \to W$, задаваемый правилом $(\mathcal{A} + \mathcal{B})(\mathbf{x}) := \mathcal{A}(\mathbf{x}) + \mathcal{B}(\mathbf{x}) ~~~\forall{x \in V}$ **Произведением** оператора $\mathcal{A}$ на скаляр $t$ называется оператор $t\mathcal{A}: V \to W$, задаваемый правилом $(t\mathcal{A})(\mathbf{x}) := t\mathcal{A}(\mathbf{x})$

Сумма линейных операторов - линейный оператор. Множество $\mathrm{Hom}(V, W)$ с операцией сложения - абелева группа.

Линейность очевидна: проверка прямыми подсчётами. Коммутативность и ассоциативность $\mathrm{Hom}(V, W)$ доказывается так же. Если взять в качестве нейтрального элемента $\mathcal{O}(\mathbf{x}) := \mathbf{0}$, а в качестве обратного по сложению $(-\mathcal{A})(\mathbf{x}) := -\mathcal{A}(\mathbf{x})$ и аналогичным образом проверить оставшиеся аксиомы, то получим, что $\mathrm{Hom}(V, W)$ - абелева группа. $\square$

Произведение линейного оператора на скаляр - линейный оператор. $\mathrm{Hom}(V, W)$ с операциями сложения и умножения на скаляр - векторное пространство.

Линейность очевидна: проверка прямыми вычислениями. Аксиомы векторного пространства проверяются аналогично. $\square$

Пусть $V, W$ - векторные пространства над $F$, причём $\mathrm{dim}~V = n > 0$, $\mathrm{dim}~W = k > 0$. Пусть $P = \{\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \dots, \mathbf{p}_{n}\}$ - базис $V$, $Q = \{\mathbf{q}_{1}, \mathbf{q}_{2}, \dots, \mathbf{q}_{k}\}$ - базис $W$. **Матрицей линейного оператора** $\mathcal{A}: V \to W$ в базисах $P$ и $Q$ называется $k\times n$-матрица, $i$-й столбец которой состоит из координат вектора $\mathcal{A}(\mathbf{p}_{i})$ в базисе $Q$, $\forall{i = \overline{1,n}}$. Эта матрица обозначается $A_{P,Q}$ или просто $A$, если базисы зафиксированы.

Если $V, W$ - векторные пространства над $F, \mathrm{dim}~V = n, \mathrm{dim}~W = k$, то векторные пространства $\mathrm{Hom}(V, W)$ и $F^{k\times n}$ изоморфны. $F^{k\times n}$ - пространство $k\times n$-матриц над $F$.

Зафиксируем в $V$ базис $P = \{\mathbf{p}_{1}, \mathbf{p}_{2}, \dots, \mathbf{p}_{n}\}$, а в $W$ - базис $Q = \{\mathbf{q}_{1}, \mathbf{q}_{2}, \dots, \mathbf{q}_{n}\}$. Определим отображение $\varphi: \mathrm{Hom}(V, W) \to F^{k\times n}$ правилом: если $\mathcal{A}: V \to W$ - линейный оператор, то $\varphi(\mathcal{A})$ - матрица оператора $A$ в базисах $P$ и $Q$. Пусть $\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathrm{Hom}(V, W),~ t \in F$. Надо проверить, что $\varphi$ - биективно и выполнены равенства: $$\varphi(\mathcal{A} + \mathcal{B}) = \varphi(\mathcal{A}) + \varphi(\mathcal{B}) \land \varphi(t\mathcal{A}) = t\varphi(\mathcal{A}) ~~~~~(*)$$ В матрице $\varphi(\mathcal{A} + \mathcal{B})$ по столбцам записаны координаты векторов $(\mathcal{A} + \mathcal{B})(\mathbf{p}_{i})$ в базисе $Q$, а в матрицах $\varphi(\mathcal{A})$ и $\varphi(\mathcal{B})$ - координаты $\mathcal{A}(\mathbf{p}_{i})$ и $\mathcal{B}(\mathbf{p}_{i})$ соответственно в том же базисе. Поскольку $(\mathcal{A} + \mathcal{B})(\mathbf{p}_{i}) = \mathcal{A}(\mathbf{p}_{i}) + \mathcal{B}(\mathbf{p}_{i})$, координаты вектора $(\mathcal{A} + \mathcal{B})(\mathbf{p}_{i})$ равны сумме координат векторов $\mathcal{A}(\mathbf{p}_{i})$ и $\mathcal{B}(\mathbf{p}_{i})$. Первое из равенств $(*)$ доказано. Второе проверяется аналогично. Проверим, что отображение $\varphi$ биективно. Если $\mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathrm{Hom}(V, W)$ и $\varphi(\mathcal{A}) = \varphi(\mathcal{B})$, то из определения матрицы линейного оператора вытекает, что операторы $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ одинаково действуют на базисных векторах пространства $V$. Но тогда $\mathcal{A} = \mathcal{B}$, так как линейный оператор однозначно определяется своим действием на базисных векторах. Следовательно, $\varphi$ - инъективно. Пусть $A = (a_{ij})_{k\times n}$. Для $\forall{j = \overline{1,n}}$ положим $\mathbf{w}_{j} = a_{1j} \mathbf{q}_{1} + a_{2j} \mathbf{q}_{2} + \dots + a_{kj} \mathbf{q}_{k}$. В силу теоремы существования и единственности линейного оператора существует линейный оператор $\mathcal{A}$ такой, что $\mathcal{A}(\mathbf{p}_{i}) = \mathbf{w}_{i} ~~\forall{i = \overline{1,n}}$. Из определения матрицы оператора вытекает, что $A_{P,Q} = A$, т.е. $\varphi(\mathcal{A}) = A$. Следовательно, $\varphi$ - сюръективно. $~~~\square$

Если $V, W$ - векторные пространства над $F$, $\mathrm{dim}~V = n$ и $\mathrm{dim}~W = k$, то $\mathrm{dim}~\mathrm{Hom}(V, W) = kn$